FUVEST-Polinômio (#1)

                                           

Opa! Seja bem-vindo(a) a mais um post! Hoje iremos resolver uma questão da segunda fase da FUVEST. 

    Primeiramente, acomode-se de forma confortável e prepare a sua bebida!

   Para começar, observe o enunciado da questão:

$Determinar as raízes \alpha ,\beta e \gamma do polinômio$

$x^3-p{x}^2+qx-r, dado que \alpha +\beta =0.$

   Apesar de ser um enunciado curto, é necessária bastante atenção a cada detalhe para não cometer nenhum erro. Para começar a resolução, iremos utilizar as relações de Girard. São elas para uma equação cúbica:

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

$r_{1 ,}{r}_{2 ,}{r}_{3 }: Raízes$

$-\frac{b}{a}=r_1+r_2+r_3$

$\frac{c}{a}=r_1.r_2+r_1.r_3+r_2.r_3$

$-\frac{d}{a}=r_1.r_2.r_3$

   Bom, agora basta aplicar na equação dada no enunciado, lembrando que $\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta }=0$

$x^3-p{x}^2+qx-r=0$

$-\frac{(-\mathrm{p})}{1}=\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta }+\mathrm{\gamma }$

$\mathrm{p}=\mathrm{\gamma }$

$\frac{\mathrm{q}}{1}=\mathrm{\alpha }.\mathrm{\beta }+\mathrm{\alpha }.\mathrm{\gamma }+\mathrm{\beta }.\mathrm{\gamma }=\mathrm{\alpha }.\mathrm{\beta }+\mathrm{\gamma }.(\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta })$

$\mathrm{q}=\mathrm{\alpha }.\mathrm{\beta }+0.\mathrm{\gamma }$

$\mathrm{q}=\mathrm{\alpha }.\mathrm{\beta }$

$-\frac{(-\mathrm{r})}{1}=\mathrm{\alpha }.\mathrm{\beta }.\mathrm{\gamma }$

$\mathrm{r}=\mathrm{q}.\mathrm{p}$

    Assim, temos a seguinte equação como resultado:

${\mathrm{x}}^3-{\mathrm{px}}^2+\mathrm{qx}-\mathrm{p}.\mathrm{q}=0$

   A qual podemos fatorar, resultando na seguinte expressão:

${\mathrm{x}}^2(\mathrm{x}-\mathrm{p})+\mathrm{q}.(\mathrm{x}-\mathrm{p})=0$

$({\mathrm{x}}^2+\mathrm{q}).(\mathrm{x}-\mathrm{p})=0$

   Logo, temos as seguintes raízes

$\mathrm{x}-\mathrm{p}=0$

$\mathrm{x}=\mathrm{p}$

${\mathrm{x}}^2+\mathrm{q}=0$

$\mathrm{x}=\sqrt{-\mathrm{q}}$

$\mathrm{x}=-\sqrt{-\mathrm{q}}$

$\mathrm{p} \mathrm{;} \sqrt{-\mathrm{q}} ; -\sqrt{-\mathrm{q}}$

   

   Finalmente encontramos as 3 raízes como pedia o enunciado!

  Muito obrigado pela sua atenção até aqui! Continue acompanhando o Simple Math para mais questões de diversos vestibulares! 

  Se você for um entusiasta da matemática, esse é o lugar certo para você! Explore o Simple Math para encontrar um oceano repleto de teorias e questões interessantes! Mergulhe no conhecimento!

                                                                                FLW!