FUVEST-Logaritmo (#1)

                                                        

      Olá! Seja bem-vindo(a) a mais um post do Simple Math! Hoje eu trouxe mais uma questão da FUVEST, dessa vez sobre logaritmos.

       Como de costume, acomode-se e prepare a sua bebida! Vamos lá!

        Para começar, vamos observar o enunciado:

           "Se x é um número real, $x>2$  e ${\log }_2\left(x-2\right)-{\log }_4\left(x\right)=1$  , então o valor de x é : 

              a) $4-2\sqrt{3}$

              b) $4-\sqrt{3}$

              c) $2+2\sqrt{3}$

              d) $4+2\sqrt{3}$

               e) $2+4\sqrt{3}$  "

           

           Primeiramente, vamos organizar a expressão dada:

${\log }_2\left(x-2\right)-{\log }_4\left(x\right)=1$

${\log }_2\left(x-2\right)-\frac{1}{2}.{\log }_2\left(x\right)=1 .\left(2\right)$

$2.{\log }_2\left(x-2\right)-{\log }_2\left(x\right)=2$

${\log }_2{\left(x-2\right)}^2-{\log }_2\left(x\right)=2$

${\log }_2\left(\frac{{\left(x\mathit{-}\mathit{2}\right)}^2}{x}\right)=2$

   

            Assim, ao tirar o logaritmo, temos:
$\frac{{\left(x\mathit{-}\mathit{2}\right)}^2}{x}=4$

${\left(x\mathit{-}\mathit{2}\right)}^2=4x$

$x^2-4x\mathit{+}\mathit{4}\mathit{=}\mathit{4}x$

$x^2-8x\mathit{+}\mathit{4}\mathit{=}\mathit{0}$

            Logo, basta resolver a equação de segundo grau:

$x^2-8x\mathit{+}\mathit{4}\mathit{=}\mathit{0}$

$\mathrm{\Delta }=64-16=48$

$x_1=4-2\sqrt{3}$

$x_2=4+2\sqrt{3}$

             Porém, lembre-se que $\mathrm{x}>2$  , dessa forma a raíz $x_1=4-2\sqrt{3}$  não pode ser considerada na resposta. 

             Dessa modo: $x=4+2\sqrt{3}$

             Marcando a letra d no gabarito!

             Muito obrigado pela sua atenção até aqui! Continue acompanhando o Simple Math para mais questões de diversos vestibulares!

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                                                                                        FLW!