ITA-Exponencial (#1)

                                                

      Olá! Seja bem-vindo(a) a mais um post do Simple Math! Hoje irei tratar de mais uma questão do ITA, dessa vez envolvendo equação exponencial e função do segundo grau.

      Como de costume, acomode-se e prepare a sua bebida! Vamos lá!

       Primeiramente, vamos observar o enunciado da questão:

      "Considere a equação $\frac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}=m$ , na variável real x , com $0<a\ne 1$ . O conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é

    a) $\left(-1,0\right)\cup \left(0,1\right)$     b)$\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$     c)$\left(-1,1\right)$     d)$\left(0,\infty \right)$     e)$\left(-\infty ,+\infty \right)$ "

         Apesar de ser um enunciado, de certa forma, confuso, o que ele realmente quer saber é qual intervalo representa todos os valores reais que m pode assumir. Para tal, vamos começar a organizar a equação da seguinte forma:

$\frac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}=m$

$\frac{a^x-\frac{1}{a^x}}{a^x+\frac{1}{a^x}}=m$

$\frac{\frac{a^{2x}-1}{a^x}}{\frac{a^{2x}+1}{a^x}}=\frac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1}=m$

          Agora, para facilitar as contas, iremos chamar $a^x=y$ :

$\frac{{\mathrm{y}}^2-1}{{\mathrm{y}}^2+1}=\mathrm{m}$

${\mathrm{y}}^2-1={\mathrm{my}}^2+\mathrm{m}$

${\mathrm{my}}^2-y^2+\mathrm{m}+1=0$

${\mathrm{y}}^2.\left(\mathrm{m}-1\right)+\mathrm{m}+1=0$

          Para fatorar, basta somar -2 de cada lado da igualdade e isolar o m

${\mathrm{y}}^2.\left(\mathrm{m}-1\right)+\mathrm{m}+1-2=-2$

${\mathrm{y}}^2.\left(\mathrm{m}-1\right)+\mathrm{m}-1=-2$

$\left(\mathrm{m}-1\right).\left({\mathrm{y}}^2+1\right)=-2$

$\mathrm{m}-1=\frac{-2}{{\mathrm{y}}^2+1}$

$\mathrm{m}=\frac{-2}{{\mathrm{y}}^2+1}+1$

           Logo, observe que a seguinte expressão $Z\left(y\right)={\mathrm{y}}^2+1$ é uma função do segundo grau, a qual possui o gráfico:

                

         

              Utilizando a fórmula do vértice na eixo das Abscissas, encontramos o valor, nesse caso, mínimo da função:

${\mathrm{y}}_{\mathrm{v}}=-\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}=-\frac{0}{2.1}$

${\mathrm{y}}_{\mathrm{v}}=0$

${\mathrm{Z}}_{\mathrm{v}}=\mathrm{Z}\left(0\right)=0^2+1$

${\mathrm{Z}}_{\mathrm{v}}=1$

${\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}>0$

${\mathrm{a}}^{2\mathrm{x}}+1>1$

                Logo, podemos concluir que, como ${\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}>0$ , a expressão ${\mathrm{a}}^{2\mathrm{x}}+1$ será sempre maior que 1 . Assim, substituindo para m:        

$m>\frac{-2}{{y_v}^2+1}+1$

$m>\frac{-2}{{\mathrm{Z}}_{\mathrm{v}}}+1$

$m>\frac{-2}{1}+1$

$m>-1$                

                 Observe agora que, quando y tende a mais infinito, a expressão também tende a mais infinito, assim:

$\underset{\mathrm{y}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{y}}^2+1=+\infty$

$\underset{\mathrm{y}\to \infty }{\lim }\frac{-2}{{\mathrm{y}}^2+1}+1=\frac{-2}{+\infty }+1=0+1$

$\underset{\mathrm{y}\to \mathit{\infty }}{\lim }\frac{-2}{{\mathrm{y}}^2+1}+1=1$

                   Portanto $m<1$ . Finalmente podemos concluir que o Conjunto de todos os valores reais que m pode assumir é dado por $m>-1 e m<1 =>m\in \left(-1,1\right)$ . Resultando na letra c do gabarito!

                   Muito obrigado pela sua atenção até aqui! Continue acompanhando o Simple Math para mais questões de diversos vestibulares!

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                                                                                        FLW!