ITA-Geometria (#1)

                                                                                   

     Olá! Seja bem-vindo(a) a mais um post do Simple Math! Hoje eu trouxe mais uma questão do ITA, dessa vez de geometria.

      Como de costume, acomode-se e prepare a sua bebida! Vamos lá!

     

       Para começar, vamos observar o enunciado:

 

                " (ITA-2018) Em um triângulo de vértices A, B e C são dados $\widehat{B}=\frac{\pi }{2}$ , $\widehat{C}=\frac{\pi }{3}$ e o lado BC = 1cm. Se o lado $\overline{\mathrm{AB}}$ é o diâmetro de uma circunferência, então a área da parte do triângulo ABC externa à circunferência, em cm², é

      a) $\frac{\pi }{8}-\frac{3\sqrt{3}}{16}$

   

      b) $\frac{5\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi }{2}$

      c)$\frac{\mathit{5}\pi }{8}-\frac{3\sqrt{3}}{4}$

      d)$\frac{5\sqrt{3}}{16}-\frac{\pi }{8}$

      e)$\frac{\mathit{5}\pi }{8}-\frac{3\sqrt{3}}{16}$  "

         Antes de tudo, no começo da resolução, vamos montar a figura:

         Ou seja, o exercício está querendo saber o valor da área que chamei de S na figura.

        

         Agora, aplicando um pouco de trigonometria, conseguimos descobrir o valor do raio da circunferência:

$\overline{AB}=2R$

$\frac{\overline{AB}}{1}=\tan \left({60}^{\circ }\right)$

$\overline{AB}=\sqrt{3}cm$

$2\mathrm{R}=\sqrt{3}$

$\mathrm{R}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}$

            Assim, temos:

              

             

               Agora, iremos traçar um segmento de reta que parte do centro da circunferência até o ponto de contato com o triângulo retângulo. Formando a seguinte figura:

                                                   

                                                       

               Note que houve a formação de um triângulo isóceles com vértices em A, no centro da circunferência e ponto de contato com o triângulo retângulo maior. Além de também a formação de um setor circular. Desse modo, podemos dizer que:

$A_1: Área do Triângulo ABC$

$A_2: Área do Triângulo\mathit{ }Isóceles$

$A_3: Área do\mathit{ }Setor\mathit{ }Circular$

$\mathrm{S}=A_1-\left(A_2+A_3\right)$

                  

                  Assim, iremos começar pelo triângulo retângulo ABC:

                                      

                     Note que a sua área é dada por $A_1=\frac{\sqrt{3}.1}{2}$ . Logo: $A_1=\frac{\sqrt{3}}{2}{\mathrm{cm}}^2$

                     

                     Agora, partindo o triângulo isóceles, temos:
                                              

                    Bom, sabemos que $A_2=2.\frac{b.h}{2}=b.h$ . Assim, aplicando um pouco de trigonometria, temos:

$\frac{\mathrm{b}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sin \left({60}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathrm{b}=\frac{3}{4}\mathrm{cm}$

$\frac{\mathrm{h}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sin \left({30}^{\circ }\right)=\frac{1}{2}$

$\mathrm{h}=\frac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{cm}$

${\mathrm{A}}_2=\frac{\sqrt{3}}{4}.\frac{3}{4}$

${\mathrm{A}}_2=\frac{3\sqrt{3}}{16}{\mathrm{cm}}^2$

    

                      Agora, para finalizar, vamos calcular a área do setor circular:
                                                    

                        Temos:

$r\mathit{=}\frac{\sqrt{\mathit{3}}}{\mathit{2}}cm$

$A_3=\frac{1}{6}.\pi .r^2$

$A_3=\frac{1}{6}.\pi .{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

$A_3=\frac{\mathrm{\pi }}{8}{\mathrm{cm}}^2$

                         Portanto, tem-se que:

$S=A_1-\left(A_2+A_3\right)$

$\mathrm{S}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\left(\frac{3\sqrt{3}}{16}+\frac{\mathrm{\pi }}{8}\right)$

$\mathrm{S}=\left(\frac{5\sqrt{3}}{16}-\frac{\mathrm{\pi }}{8}\right){\mathrm{cm}}^2$

                         Finalmente encontramos a área! Marcando letra d no gabarito!

                          

                         Muito obrigado pela sua atenção até aqui! Continue acompanhando o Simple Math para mais questões de diversos vestibulares!

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