ITA-Polinômio (#1)

                                        

   Olá! Seja Bem-vindo(a) a mais um post do Simple Math! Hoje iremos resolver um excercício do ITA sobre polinômios.

     Primeiramente, acomode-se e prepare a sua bebida! Vamo lá!

     Para começar, oberve o enunciado:

               "Considere as funções $f\left(x\right)=x^4+2x^3-2x-1 e g\left(x\right)=x^2-2x+1$. A multiplicidade das raízes não reais da função composta $f_o g$ é igual a : 

           a)1          b)2           c)3           d)4           e)5 "

       Antes de começarmos de fato a solução, precisamos entender o que é a multiplicidade das raízes. Bom, isso, na verdade, é bem simples. Quando temos um polinômio com duas raízes iguais, dizemos que sua multiplicidade é 2, com 3 raízes iguais a sua multiplicidade é 3 e assim por diante. Observe um exemplo:

$h\left(x\right)=x^2-6x+9$

$h\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2$

${\mathrm{x}}_1=3 \mathrm{ou} {\mathrm{x}}_2=3$

      Nesse caso, como temos duas raízes iguais, dizemos que a multiplicidade de suas raízes é igual a 2.

      Bem, ao voltarmos para o problema do ITA, vamos fatorar a primeira função:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}+1$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\left(\mathrm{x}+1\right)}^3.\left(\mathrm{x}-1\right)$

      Agora iremos fatorar a segunda função:

$g\left(x\right)=x^2-2x+1$

$g\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2$

     Logo, ao realizar a função composta $f_{o}g$ , temos:

$f_{o}g\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{=}{\left[{\left(x\mathit{-}\mathit{1}\right)}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{1}\right]}^{\mathit{3}}\mathit{.}\left[{\left(x\mathit{-}\mathit{1}\right)}^{\mathit{2}}\mathit{-}\mathit{1}\right]$

$f_{o}g\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{=}{\left(x^2-2x+2\right)}^{\mathit{3}}\mathit{.}\left(x^{\mathit{2}}\mathit{-}\mathit{2}x\right)$

$f_{o}g\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{=}x\mathit{.}\left(x\mathit{-}\mathit{2}\right).{\left(x^2-2x+2\right)}^{\mathit{3}}$

     Assim, ao determinar as raízes, obtemos:

$x=0$

$x-2=0$

$x=2$

$x^2-2x+2=0$

$x_1=1+i$

$x_2=1-i$

     Logo, como a expressão $x^2-2x+2$ está elevado ao cubo, conclui-se que haverá 3 raízes $1+i$ e 3 raízes $1-i$. Finalmente, podemos concluir, portanto, que a multiplicidade das raízes complexas desse poliômio é igual a 3, letra c.

     Muito obrigado pela sua atenção até aqui! Continue acompanhando o Simple Math para mais questões de diversos vestibulares!

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                                                                                        FLW!