ITA-Polinômio (#2)

                                                                       

     Olá! Seja bem-vindo(a) a mais um post do Simple Math! Hoje eu trouxe mais uma questão do ITA, dessa vez envolvendo polinômios.

      Como de costume, acomode-se e prepare a sua bebida!

       Para começar, vamos observar o enunciado:

       " O número Complexo 2+i  é raíz do polinômio $f\left(x\right)=x^4+x^3+p{x}^2+x+q$ , com p e q $\in \mathbb{R}$ . Então a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes reais de f é

          a)4          b)-4          c)6          d)5          e)-5  "

         Bom, primeiramente é preciso lembrar que o polinômio é de quarto grau ($x^4$), ou seja, possui quatro raízes. Assim, também precisamos observar que, pelo Teorema da Raíz Complexa Conjugada, se 2+i  é  uma das raízes então 2-i é também uma raíz. Desse modo, como é afirmado a existência de raízes reais do polinômio, temos duas raízes complexas e duas raízes reais, completando todas as 4. 

         Logo, pelas Relações de Girard, temos:

$r_1 ; r_{2 }; 2+i ; 2-i : Raízes$

$r_1+r_{2 }+2+i+ 2-i=-\frac{b}{a}$

$r_1+r_{2 }+2+i+ 2-i=-\frac{\mathit{1}}{\mathit{1}}=-1$

$r_1+r_{2 }+4=-1$

$r_1+r_{2 }=-5$

           Finalmente, podemos concluir que a soma das raízes reais do polinômio é igual a -5, marcando a letra e no gabarito!

            Muito obrigado pela sua atenção até aqui! Continue acompanhando o Simple Math para mais questões de diversos vestibulares!

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                                                                                        FLW!