Mackenzie-Geometria (1)

                                                        

      Olá! Seja bem-vindo(a) a mais um post do Simple Math! Hoje eu trouxe uma questão de geometria do Mackenzie, sobre polígonos.

       Como de costume, acomode-se e prepare a sua bebida! Vamos lá!

        Para começar, vamos observar o enunciado:

               " ABCDEF é um hexágono regular de lado L . Sabendo que a área do quadrilátero ABCM é um quarto da área do hexágono, o comprimento do segmento AM é:

                       

               a) $\frac{5L}{3}$

                

               b) $\frac{7L}{4}$

              c) $\frac{9L}{4}$

  

              d) $\frac{7L}{3}$

              e) $\frac{5L}{4}$     "

        Primeiramente, lembre-se de que um polígono regular é aquele que possui todos os lados e ângulos internos iguais. Nesse caso, os ângulos internos do hexágono regular medem ${120}^{\circ }$. Além de que a sua área é dada pela soma das áreas de 6 triângulos equiláteros de lados iguais ao do hexágono. Logo a sua área é dada por: $A_H=6.\frac{L^2\sqrt{3}}{4}$

           Note também que o quadrilátero ABCM é formado pelo triângulo isóceles ABC e triângulo retângulo ACM:

                                          

            Assim, começaremos analisando o triângulo ABC:

                                           

            Utilizando um pouco de trigonometria, temos:

$\frac{h}{L}=\sin \left({30}^{\circ }\right)=\frac{1}{2}$

$h\mathit{=}\frac{L}{\mathit{2}}$

$\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{L}}=\sin \left({60}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathrm{b}=\frac{\mathrm{L}\sqrt{3}}{2}$

$\overline{\mathrm{AC}}=2\mathrm{b}$

$\overline{\mathrm{AC}}=\mathrm{L}\sqrt{3}$

              Assim, podemos concluir que a área do triângulo ABC é dada por:

$A_{ABC}\mathit{=}\mathit{2.}b\mathit{.}h$

$A_{ABC}\mathit{=}\mathit{2.}\frac{L\sqrt{\mathit{3}}}{\mathit{2}}\mathit{.}\frac{L}{\mathit{2}}$

$A_{ABC}\mathit{=}\frac{L^{\mathit{2}}\sqrt{\mathit{3}}}{\mathit{4}}$

              Agora, vamos partir para o triângulo ACM:

                                       

             Assim, podemos concluir que a sua área é dada por: $A_{ACM}\mathit{=}L\sqrt{\mathit{3}}\mathit{.}\overline{MC}$

             Sabemos também que área do quadrilátero ABCM é dada pela soma das áreas dos triângulos ABC e ACM. Logo:

$A_{ABCM}=A_{ABC}+A_{ACM}$

$A_{ABCM}=\frac{{\mathrm{L}}^2\sqrt{3}}{4}+L\sqrt{\mathit{3}}\mathit{.}\overline{MC}$

              Dado pelo enunciado, temos que área do quadrilátero ABCM é um quarto da área do hexágono. Desse modo:

$A_{ABCM}=\frac{1}{4}.{\mathrm{A}}_{\mathrm{H}}$

$\frac{{\mathrm{L}}^2\sqrt{3}}{4}+\mathrm{L}\sqrt{3}.\overline{\mathrm{MC}}=\frac{6.\frac{{\mathrm{L}}^2\sqrt{3}}{4}}{4}$

$2.{\mathrm{L}}^2\sqrt{3}+4.\mathrm{L}\sqrt{3}.\overline{\mathrm{MC}}=3.{\mathrm{L}}^2\sqrt{3}$

$4.\mathrm{L}\sqrt{3}.\overline{\mathrm{MC}}={\mathrm{L}}^2\sqrt{3}$

$\overline{\mathrm{MC}}=\frac{L}{4}$

              Agora, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo ACM:

                                        

               ${\left(\overline{\mathrm{AM}}\right)}^2={\left(L\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{L}{4}\right)}^2$

               ${\left(\overline{\mathrm{AM}}\right)}^2=\frac{49.{\mathrm{L}}^2}{16}$

               $\overline{\mathrm{AM}}=\frac{7\mathrm{L}}{4}$

            

              Finalmente, encontramos o valor do segmento AM, como pedia o exercício. Marcando a letra b no gabarito!

              

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                                                                                        FLW!