Soma dos Quadrados até n²

                                                                           

     Olá! Seja bem-vindo(a) a mais um post do Simple Math! Hoje irei tratar de uma fórmula bem intrigante, a qual irei demonstrar.

        * Se você está no celular, deixe-o "deitado" para poder vizualizar todos os cálculos com clareza*

      Antes de mais nada, como de costume, acomode-se e prepare a sua bebida. Vamos lá!

      O que irei demonstrar é o seguinte:

      Considere a expressão: $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+....{\mathrm{n}}^2=\mathrm{S}$

      Então $S=\frac{n.(n+1).(2n+1)}{6}$

     Para começar, vamos entender um conceito: Os números triangulares, ou termial.

     A sua notação é dada por um ponto de interrogação (n? , $n\in \mathbb{N}$), o termial de um número n representa a soma sucessiva de 1 até n: $\mathrm{n}?=1+2+3+...\mathrm{n}$

      Veja um exemplo: $5?=1+2+3+4+5=15$

       Assim, utilizando o conceito de PA (Progressão Aritmética), temos:

$n?=1+2+3+...n$

$\mathrm{r}=1$

${\mathrm{a}}_{\mathrm{m}}={\mathrm{a}}_1+(\mathrm{m}-1).\mathrm{r}$

${\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}=1+(\mathrm{n}-1).1$

${\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{n}$

$\mathrm{n}?=\frac{({\mathrm{a}}_1+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}).\mathrm{n}}{2}$

$\mathrm{n}?=\frac{\mathrm{n}.\left(\mathrm{n}+1\right)}{2}$

         Toda essa apresentação dos números triângulares tem um motivo, nós iremos os utilizar para demonstrar a expressão inicial. Mais especificamente, iremos utilizar uma propriedade do termial, a qual diz que a soma de dois números triangulares consecutivos resulta no quadrado do maior. Veja bem:

$\mathrm{n}?=\frac{\mathrm{n}.\left(\mathrm{n}+1\right)}{2}$

$\left(\mathrm{n}+1\right)?=\frac{(\mathrm{n}+1).(\mathrm{n}+2)}{2}$

$\mathrm{n}?+\left(\mathrm{n}+1\right)?=\frac{\mathrm{n}.\left(\mathrm{n}+1\right)}{2}+\frac{\left(\mathrm{n}+1\right).\left(\mathrm{n}+2\right)}{2}$

$\mathrm{n}?+\left(\mathrm{n}+1\right)?=\frac{(\mathrm{n}+1).2.(\mathrm{n}+1)}{2}$

$\mathrm{n}?+\left(\mathrm{n}+1\right)?={\left(\mathrm{n}+1\right)}^2$

           Veja um exemplo: $5?+6?=15+21=6^2$

            

            Agora, voltando para a expressão incial e utilizando a propriedade apresentada anteriormente, temos:

$\mathrm{S}=1^2+2^2+3^2+...{\mathrm{n}}^2$

$\mathrm{S}=1+1?+2?+2?+3?+3?+4?+...(\mathrm{n}-1)?+\mathrm{n}?$

$\mathrm{S}=2.\left[1?+2?+3?+...\left(\mathrm{n}-1\right)?\right]+\mathrm{n}?$

             Note que, ao decompor cada termial, o número 1 aparece n-1 vezes, o número 2 aparece n-2 vezes, o número 3 aparece n-3 vezes e assim por diante. Logo:

$\mathrm{S}=2.\left[1.(\mathrm{n}-1)+2.(\mathrm{n}-2)+...(\mathrm{n}-1).(\mathrm{n}-(\mathrm{n}-1\left)\right)\right]+n?$

$\mathrm{S}=2.\left[\mathrm{n}+2\mathrm{n}+3\mathrm{n}+4\mathrm{n}+(\mathrm{n}-1).\mathrm{n}-(1^2+2^2+3^2+...{\left(\mathrm{n}-1\right)}^2)\right]+\mathrm{n}?$

             Observe também o seguinte:
$1^2+2^2+3^2+...{\left(\mathrm{n}-1\right)}^2=S-n^2$

             Assim:

$\mathrm{S}=2.\left[\mathrm{n}.(1+2+3+..(\mathrm{n}-1\left)\right)-\mathrm{S}+{\mathrm{n}}^2\right]+\mathrm{n}?$

$\mathrm{S}=2.\left[\mathrm{n}.(\mathrm{n}-1)?-\mathrm{S}+{\mathrm{n}}^2\right]+\mathrm{n}?$

$\mathrm{S}=2.\mathrm{n}.(\mathrm{n}-1)?-2.\mathrm{S}+2{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}?$

$3.\mathrm{S}=2.\mathrm{n}.\frac{(\mathrm{n}-1).\mathrm{n}}{2}+\frac{\mathrm{n}.(\mathrm{n}+1)}{2}+2{\mathrm{n}}^2$

$3.\mathrm{S}=\frac{2.{\mathrm{n}}^2.(\mathrm{n}-1)+\mathrm{n}.(\mathrm{n}+1)+4{\mathrm{n}}^2}{2}$

$3.\mathrm{S}=\frac{2{\mathrm{n}}^2.(\mathrm{n}+1)+\mathrm{n}.(\mathrm{n}+1)}{2}$

$3.\mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}.(\mathrm{n}+1).(2\mathrm{n}+1)}{2}$

$\mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}.\left(\mathrm{n}+1\right).\left(2\mathrm{n}+1\right)}{6}$

            C.Q.D

                 Finalmente provamos que:

$1^2+2^2+3^2+...{\mathrm{n}}^2=\frac{\mathrm{n}.\left(\mathrm{n}+1\right).\left(2\mathrm{n}+1\right)}{6}$

                 

                 Muito obrigado pela sua atenção até aqui!  

                  Se você é um entusiasta da matemática, esse é o lugar certo para você! Continue explorando o Simple Math para mais teorias e questões interessantes, mergulhe no conhecimento!

                                                                                        FLW!