Um problema interessante (Parte I)

    

Olá, seja bem-vindo (a)! Hoje tenho um problema interessante que me deparei durante o meu terceiro ano do Ensino Médio, nesse período eu encontrei duas formas de solucioná-lo. Nesse post, irei mostrar uma delas. 

     Primeiramente acomode-se confortavelmente, prepare a sua bebida e vamos lá!

     O problema começa da seguinte forma:

     " Sabe-se  que  0<x<1 . Portanto observe a seguinte função:

$Z\left(x\right)=2+\frac{1}{x}+3x+4x^2+5x^3...$

       Tal que:

$Z\left(k\right)=\frac{\mathit{1}}{k^{\mathit{3}}}$

     Então determine k. "

      Eu sei, numa primeira impressão esse problema parece ser extremamente difícil, talvez até impossível. Mas não há o que se preocupar, a solução é até bem simples. Para começar vamos tirar o MMC de tudo, resultando na seguinte expressão:

$Z\left(x\right)=\frac{1+2x+3x^2+4x^3+5x^4...}{x}$

     Agora, apesar de parecer ter piorado, vamos continuar nessa linha de raciocínio. Analisaremos o denominador individualmente, o chamarei de S:

$S=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4...$

    Agora, note que x.S resulta na seguinte expressão:

$x.S=x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5...$

   Assim, se realizarmos a subtração de S-x.S, temos:

$S=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4...$

$x.S=x+2x^2+3x^3+4x^4...$

$S-x.S=S.(1-x)=1+x+x^3+x^4+x^5...$

     Logo, observe que houve a formação da soma infinita de uma PG, tal que x é a razão e 0<x<1, como indicado no enunciado da questão. Portanto, utiliza-se a seguinte fórmula:

$S.(1-x)=\frac{a1}{1-q}$

$S.(1-x)=\frac{1}{1-x}$

     Resultando na seguinte expressão:

$S.(1-x)=\frac{a_1}{1-q}$

$S=\frac{1}{(1-x{)}^2}$

$Z\left(x\right)=\frac{S}{x}=\frac{1}{x.(1-x{)}^2}$

    Assim, basta igualar ao Z(k) para encontrar o k:

$Z\left(k\right)=\frac{1}{k^3}$

$\frac{1}{k.(1-k{)}^2}=\frac{1}{k^3}$

$k^3=k.(1-k{)}^2$

    Dessa forma, temos essa equação, na qual é possível cancelar o termo de grau 3.

$k^3=k^3-2k^2+k$

$2k^2-k=0$

    Resultando numa equação do segundo grau. Finalmente, ao resolver, temos;

$k.(2k-1)=0$

$2k-1=0$

$k=\frac{1}{2}$

$Z\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{\frac{1}{2}.{\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^3}=8$

    Logo, encontramos o valor de k, resolvendo o problema, encerrando essa publicação. No próximo post, apresentarei uma segunda maneira mais rápida de resolver esse problema. Na qual irá envolver matérias de Cálculo I. Acesse a Parte II: Um problema interessante (Parte II)

    Muito obrigado pela sua atenção até aqui! Eu te espero nos próximos posts!

    Caso tenha qualquer dúvida, basta comentar, que estou a prontidão para responder todas!

                                                                           FLW!