Um problema interessante (Parte II)

                                                        

     Olá! Seja bem-vindo(a) a mais um post do Simple Math! Hoje irei tratar da segunda parte daquele problema que me deparei durante o meu terceiro ano do Ensino Médio. Se você ainda não viu a parte 1 acesse: Um problema interessante (Parte I) .

       Acomode-se e prepare a sua bebida! Vamos lá!

       Primeiramente, vamos relembrar o enunciado do problema:
             " Sabe-se que 0<x<1 . Observe a seguinte função:

                $Z\left(x\right)=2+\frac{1}{x}+3x+4x^2+5x^3+6x^4...$

                Tal que : $Z\left(k\right)=\frac{1}{k^3}$ 

                Determine k "

        Para começar, vamos seguir os primeiros passos da solução anterior apresentada na Parte I. Vamos tirar o MMC de tudo:

$Z\left(x\right)=\frac{1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5...}{x}$

        Agora, vamos analisar o numerador individualmente, chamando-o de S(x):

$S\left(x\right)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5...$

        Bom, agora observe o que acontece se integrarmos essa expressão:

$\underset{\mathit{ }}{\overset{\mathit{ }}{\mathit{\int }}}S\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{d}x\mathit{=}\underset{\mathit{ }}{\overset{\mathit{ }}{\mathit{\int }}}\mathit{1}\mathit{+}\mathit{2}x\mathit{+}\mathit{3}{x}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{4}{x}^{\mathit{3}}+5x^{\mathit{4}}+6x^5...\mathit{d}x$

$\underset{\mathit{ }}{\overset{\mathit{ }}{\mathit{\int }}}S\mathit{\left(}x\mathit{\right)}dx\mathit{=}x\mathit{+}{x}^{\mathit{2}}\mathit{+}{x}^{\mathit{3}}\mathit{+}{x}^{\mathit{4}}\mathit{+}{x}^{\mathit{5}}\mathit{+}{x}^{\mathit{6}}\mathit{.}\mathit{.}\mathit{.}$

        Houve a formação de uma soma infinita de uma PG. Logo, basta utilizar a fórmula apresentada na Parte I e derivar:

$\underset{\mathit{ }}{\overset{\mathit{ }}{\mathit{\int }}}S\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{d}x\mathit{=}\frac{a_{\mathit{1}}}{\mathit{1}\mathit{-}q}$

$\underset{ }{\overset{ }{\mathit{\int }}}S\mathit{\left(}x\mathit{\right)}dx\mathit{=}\frac{x}{\mathit{1}\mathit{-}x}$

$\frac{d}{dx}\left(\underset{ }{\overset{ }{\mathit{\int }}}S\mathit{\left(}x\mathit{\right)}dx\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\mathit{1}\mathit{-}x}\right)$

$S\mathit{\left(}x\mathit{\right)}=\frac{1}{{\left(1-x\right)}^2}$

           Assim, basta substituir na $Z\mathit{\left(}x\mathit{\right)}$ :

$Z\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{=}\frac{S\mathit{\left(}x\mathit{\right)}}{x}$

$Z\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{=}\frac{\frac{1}{{\left(1-x\right)}^2}}{x}$

$Z\mathit{\left(}x\mathit{\right)}\mathit{=}\frac{\mathit{1}}{x\mathit{.}{\left(1-x\right)}^2}$

          Agora basta resolver para $Z\mathit{\left(}k\mathit{\right)}\mathit{=}\frac{\mathit{1}}{k^{\mathit{3}}}$ :

$\frac{\mathit{1}}{k\mathit{.}{\left(1-\mathrm{k}\right)}^2}=\frac{\mathit{1}}{k^{\mathit{3}}}$

$k^{\mathit{3}}=k^{\mathit{3}}-2k^2+k$

$2k^2-k\mathit{=}k\mathit{.}\mathit{(}\mathit{2}k\mathit{-}\mathit{1}\mathit{)}\mathit{=}\mathit{0}$

$\mathit{2}k\mathit{-}\mathit{1}\mathit{=}\mathit{0}$

$k\mathit{=}\frac{\mathit{1}}{\mathit{2}}$

           Desse modo, encontramos o valor de k. Resolvendo o problema!

           Muito obrigado pela sua atenção até aqui! Continue explorando o Simple Math para mais teorias e questões interessantes!

                                                                                    FLW!